[신뢰도와 신뢰구간의 이해] 4. 신뢰도가 높으면 좋은걸까?

신뢰도는 높을 수록 좋은걸까요? 의문을 해결하기 위해 수능 문제를 하나 가져왔습니다. 

 

 

문제에서 표본의 크기는 100이고, 표본평균이 245, 표본표준편차가 20 입니다.

 

95% 신뢰도로 신뢰구간을 계산하면 아래와 같습니다. 모표준편차를 모르기 때문에 표본표준편차를 대신 사용합시다. 여기서 발생하는 오차에 대해서는 나중에 다루기로 합시다. 

 

$\bar{X}_{1} -1.96\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{X}_{1} +1.96\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

 

$245 -1.96\cdot \frac{20}{\sqrt{100}} \leq \mu \leq 245 +1.96\cdot \frac{20}{\sqrt{100}}$

 

$241.1 \leq \mu \leq 248.9$

 

이번에는 99% 로 추정해봅시다. 

 

$\bar{X}_{1} -2.58\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{X}_{1} +2.58\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

 

$239.8 \leq \mu \leq 250.2$

 

이번에는 99.9% 로 추정해봅시다. 

 

$\bar{X}_{1} -3.29\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{X}_{1} +3.29\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

 

$238.4 \leq \mu \leq 251.6$

 

신뢰도를 높일 수록 신뢰 구간이 넓어집니다. 신뢰 구간이 넓어지면 설득력이 떨어지게 됩니다. 신뢰도를 높게 이야기할 수는 있지만, 신뢰구간이 넓어지기 때문에 신뢰도를 높이는게 꼭 좋다고 할 수는 없습니다. 주어진 데이터는 동일합니다. 표현 방식의 차이일 뿐입니다. 아주 단순화시켜서 이야기하면 6을 2+4라고 말하는 것과 1+5 이라고 말하는 차이입니다. 

 

신뢰도 100% 로 추정한 내일의 날씨는 아래와 같습니다. 

 

"내일 비가올 확률은 0~100% 사이이다."