일표본 t검정 글 하나로 끝내버리기

1. 언제 쓰는 건가요?

일표본 t검정은 모집단의 평균이 알려져 있는 상황에서, 정말 그 사실이 맞는지 확인할 때 사용합니다. 예를 들어 어떤 과자 포장지에 내용물 무게가 30g이라고 나와있다고 합시다. 30g이 정말 맞는지 확인하고 싶은 경우 표본을 뽑아 일표본 t검정을 합니다. 여기서 표본을 뽑는다는건 과자 50봉지 정도를 구입한다는 의미입니다. 
 

2. 조건

1) 데이터는 연속형 자료여야 합니다. t검정은 t분포를 사용하는데, t분포는 모집단이 정규분포를 따른다는 것을 전제로 유도된 분포입니다. 정규분포는 연속형 변수에서 유도된 분포이기 때문에 모집단이 연속형 데이터인 경우에만 t검정을 사용할 있는 것이 원칙적으로는 맞습니다.  

2) 모집단이 정규분포를 따라야 합니다. 이유는 1번에서 설명했습니다. 

 

3. 정규성검정

정규성 검정에는 어떤 방법이 사용될까요? 정규성검정에는 주로 샤피로-윌크 검정이 사용됩니다. 만약 정규성 검정에서 p값이 0.05 보다 작게 나와서 정규성이 기각 될 경우에는 독립표본 t검정 대신 비모수 검정인 윌콕슨 순위합 검정을 사용합니다. 
 

4. t 검정 원리

정규성검정에서 p값이 0.05 보다 크게 나왔다고 가정합시다. 정규성이 확보된 것입니다. 따라서 t검정을 사용할 수 있습니다. t검정이 어떤 절차로 진행되는지 알아봅시다. 수식이 등장해서 어려울 수 있는데 최대한 간단하게 설명하겠습니다 .

 

먼저 귀무가설과 대립가설을 세웁니다. 귀무가설은 무로 돌아가게 하고 싶은 가설입니다. 대립가설은 우리의 주장을 담고 있는 가설입니다. 어떤 모집단의 평균이 얼마라고 알려져 있는 상황에서 우리는 아니라고 주장하고 싶은 상황입니다. 모집단의 평균이 $\mu$ 라고 알려져 있다면 귀무가설과 대립가설은 아래와 같이 세울 수 있습니다. 

귀무가설 : 모집단의 평균이 $\mu$다. 
대립가설 : 모집단의 평균이 $\mu$가 아니다. 

 

과자 무게 예시에서 귀무가설은 "과자 내용물의 무게가 30g이다" 입니다. 대립가설은 "과자 내용물의 무게가 30g이 아니다" 이니다.

 

이제 모집단에서 표본을 뽑습니다. 뽑힌 표본 A라고 놓겠습니다. 알려진 모평균, 표본의 크기, 표본평균, 표본표준편차를 아래와 같이 놓겠습니다. 

알려진 모평균 : $\mu$
표본의 크기 : $n_{A}$
표본 평균 : $\bar{X}_{A}$
표본 표준편차 : $s_{A}$

아래 수식을 이용하여 T 통계량을 구합니다. 

$t=\frac{\bar{X}_{A}-\mu}{\frac{s_{A}}{\sqrt{n}}}$

위 T통계량은 아래와 같은 자유도의 t분포에서 뽑힌 것입니다. 

자유도 : $n-1$

우리가 구한 T통계량 보다 극단적인 영역의 넓이를 t분포에서 구합니다. 이 넓이가 바로 p값입니다. 

실제 통계분석을 할 때 우리가 p 값을 직접 구할 일은 없습니다. R을 이용하면 코드 몇 줄이면 구할 수 있습니다. 그렇다고 원리를 이해할 필요가 없는 것은 아닙니다. t검정으로 나온 결과가 어떤 의미인지 제대로 해석하기 위해서는 t검저의 원리를 알아야 합니다.