t검정에서 표준편차가 p값에 주는 영향

서로 독립인 두 집단의 평균을 비교하는 독립표본 t검정을 한다고 합시다. 평균의 차이가 클수록 p값이 작아져서 두 집단 평균 차이가 유의하게 나올 것입니다. 하지만 p값에 영향을 주는 것은 표준편차도 있습니다. t통계량을 통해 쉽게 확인할 수 있습니다. 이분산인 경우의 t통계량은 아래와 같습니다.

 

$T=\frac{\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2}}{\sqrt{
\frac{s_{1}^{2}}{N_{1}}+\frac{s_{2}^{2}}{N_{2}}
}}$

 

각 집단의 표준편차가 작아지면 t값의 절댓값이 커지게 되고, p값은 작아지게 됩니다. 이 대목에서 왜 p 값이 작아지는지 이해가 되지 않는 분들을 위해서 부연설명을 드리겠습니다. t값의 절댓값이 커진다는 것은 분포 상에서 더 극단적인 쪽으로 t값이 이동한다는 것을 뜻합니다. 더 극단적인 쪽으로 이동하면 p값은 작아집니다. 아래 그림을 참고하시기 바랍니다. 

 

 

이런 이유 때문에 재밌는(?)일이 벌어집니다. 아래 세 집단을 봅시다. 

 

집단 A (평균 10, 표준편차 10)

집단 B (평균 12, 표준편차 1)

집단 C (평균 13, 표준편차 100)

 

t검정을 해보면 A와 C는 유의차가 없게 나오고, A와 B는 유의차가 있게 나옵니다. 이상하죠? A와 C의 평균 차이가 더 큰데 말입니다. 표준편차 때문에 벌어진 일입니다.