[확률과 통계 기초] 3-46. 정규분포의 발견 (3) 오차의 분포로 부터

우리는 정규분포가 발견된 경로가 두 가지 있다는 것을 배웠습니다. 하나는 이항분포를 통한 발견입니다. 드무아브르와 라플라스는 이항분포에서 n을 무한대로 보내면, 이항분포가 표준정규분포에 수렴한다는 것을 증명했습니다. 다른 하나의 경로는 가우스가 발견했습니다. 이번 시간에는 가우스가 정규분포를 발견한 과정을 알아봅시다.

우리가 어떤 대상을 측정하는 상황을 생각해봅시다. 아무리 정밀하게 측정하려고 해도, 측정할 때마다 결과가 미세하게 달라질 것입니다. 이는 측정오차 때문입니다. 가우스는 이 측정오차의 분포를 구하고 싶었습니다. 어떤 대상을 측정하는 상황을 수식을 이용하여 표현해보겠습니다. 우리가 어떤 대상의 길이를 n번 측정했을 때, 측정 결과는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. 

$x_{1}$, $x_{2}$, …, $x_{n}$

가우스는 측정 대상의 참값을 m으로 놓았습니다. 오차는 측정값에서 참값을 뺀 값으로 정의됩니다. 오차는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. 

$e_{1} = x_{1}-m$

$e_{2} = x_{2}-m$

…

$e_{n} = x_{n}-m$

가우스는 이 오차들이 어떤 분포에서 뽑혔을 것이라고 생각했고 그 분포를 구하고 싶었습니다. 가우스는 오차의 분포가 만족해야 하는 세가지 가정을 합니다. 

1. 오차의 분포는 0을 중심으로 대칭이다. 
2. 오차가 작을 수록 확률이 크다. 
3. 참 값의 가장 그럴듯한 추정값은 측정 데이터의 평균이다. 

가우스는 이런 가정만을 가지고 오차의 분포함수를 유도했더니 아래와 같은 함수 얻었습니다. 

$$
f(\varepsilon)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma}e^{-\frac{\varepsilon ^2}{2\sigma^2}}
$$

측정값의 분포로 변환하면 아래와 같습니다. 

$$
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma}e^{-\frac{(x-m) ^2}{2\sigma^2}}
$$

이 분포가 바로 정규분포입니다. 위에서 이야기한 세가지 조건만 이용하여 함수를 유도하면, 정규분포가 유도됩니다. 

다음 시간에는 정규분포 함수의 성질에 대해 알아봅시다.