[확률과 통계 기초] 3-42. 균등분포의 평균, 분산, 표준편차

우리는 연속확률변수의 평균, 분산, 표준편차를 구하는 방법을 배운 상태입니다. 어떤 연속 확률변수 X의 확률밀도함수를 f(x) 라고 했을 때 평균, 분산 표준편차는 아래와 같이 계산합니다.

$$
E[X]=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx
$$

$$
V[X]=\int_{-\infty}^{\infty}(x-m)^2f(x)dx
$$

$$
\sigma[X]=\sqrt{V[X]}
$$

이제 우리가 배운 개념을 균등분포에 적용해봅시다. [a,b]에서 정의된 균등분포의 확률밀도함수는 아래와 같습니다. 

$$
f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{1}{b-a} & a \leq x \leq b \\0 & otherwise \\\end{matrix}\right.
$$

평균을 먼저 구해봅시다. 위에 있는 평균수식의 f(x) 에 균등분포 함수를 넣으면 됩니다. 

$$
E[X]=\int_{a}^{b}\frac{x}{b-a}dx= \begin{bmatrix}
\frac{x^2}{2(b-a)}\end{bmatrix}^{b}_{a}=\frac{b^2-a^2}{2(b-a)}=\frac{a+b}{2}
$$

$\frac{(a+b)}{2}$ 는 a와 b의 중점입니다. 확률밀도가 균일하기 때문에 기댓값이 중점이라는 것은 직관적으로도 받아들일 수 있습니다. 

이번에는 분산을 구해봅시다. 분산은 편차의 제곱의 평균입니다. 위에 있는 분산 수식의 f(x) 에 균등분포 함수를 넣으면 됩니다. 

$$
V[X]=\int_{a}^{b}(x-m)^2\frac{1}{b-a}dx=\begin{bmatrix}
\frac{(x-m)^3}{3(b-a)}\end{bmatrix}^{b}_{a}=\frac{(b-m)^3-(a-m)^3}{3(b-a)}
$$

m에 위에서구한 평균을 대입합니다. 

$$
V[X]=\frac{1}{3(b-a)}\left[ \left (b-\frac{a+b}{2} \right )^3- \left (a-\frac{a+b}{2}\right )^3 \right]
$$

우변을 아래와 같이 계산합니다. 

$$
V[X]=\frac{1}{3(b-a)}\left[ \left (\frac{b-a}{2} \right )^3- \left (\frac{a-b}{2}\right )^3 \right]
$$

우변을 아래와 같이 변형합니다. 

$$
V[X]=\frac{1}{3(b-a)}\left[ \left (\frac{b-a}{2} \right )^3+ \left (\frac{b-a}{2}\right )^3 \right]
$$

괄호 안 수식을 하나로 합쳐줍니다.

$$
V[X]=\frac{2}{3(b-a)} \left (\frac{b-a}{2} \right )^3
$$

아래와 같이 계산합니다. 

$$
V[X]=\frac{(b-a)^2}{12}
$$

표준편차는 분산에 루트를 씌워 구하면 됩니다. 

$$
\sigma[X]=\sqrt{V[X]}=\frac{(b-a)}{\sqrt{12}}
$$

오늘 배운 내용을 정리해봅시다. 구간 [a,b] 에서 정의된 균등분포의 평균은 a,b 의 중앙값인 $\frac{(a+b)}{2}$ 입니다. 분산은 $\frac{(b-a)^2}{12}$ 입니다. 분산은 b-a가 커질수록 커집니다.

 

 

<강의 영상>

https://www.youtube.com/watch?v=_hcTXbazSKM