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중심극한정리10

[통계 Q&A] 표본을 하나만 뽑았는데 어떻게 분포를 가정할 수 있나요? (중심극한정리) Q) 표본을 하나만 뽑았는데 어떻게 분포를 가정할 수 있나요? A) 표본을 뽑지 않아도 분포는 가정할 수 있습니다. 정말 자주 받는 질문입니다. 많은 분들이 헷갈려 하시는 내용이고 왜 헷갈려하시는지 이해가 됩니다. 헷갈리는 상황을 먼저 설명하겠습니다. 모집단의 평균이 $\mu$라고 알려져 있는데요. 사실인지 확인하기 위해 표본을 뽑아 통계검정을 하려고 합니다. 크기가 n인 표본을 뽑았구요. 표본의 평균은 $\bar{X}_{1}$, 분산은 $s^2$입니다. 이때 표본의 크기 n이 충분히 크면 중심극한정리를 적용할 수 있습니다. 표본의 크기 n이 충분히 크면 표본평균의 분포가 아래 분포를 따른다는 것이 중심극한정리입니다. $\bar{X} \sim N\left (\mu,\frac{\sigma^2}{n} \ri.. 2022. 9. 7.

중심극한정리가 헷갈리시는 분들을 위한 극단적인 예시 중심극한정리는 아래와 같은 정리입니다. "모집단의 분포와 상관 없이 표본의 크기가 커지면 표본평균의 분포가 정규분포에 가까워져 간다." 표본의 크기가 충분히 크면 표본평균의 분포를 정규분포로 근사시킬 수 있다는 것입니다. 충분히 큰 표본의 크기를 보통 30으로 놓습니다. 중심극한정리를 헷갈려하시는 분들이 많아서 아주 극단적인 상황을 통해 설명을 하려고 합니다. 일부러 극단적인 상황을 선택했습니다. 극단적인 상황의 예시가 제대로 이해하지 못한 분들에게 리트머스 종이가 될 수 있기 때문입니다. 이게 된다고? 라는 생각이 드시는 분들은 중심극한정리를 제대로 이해하지 못하고 계셨던 것입니다. 이번 기회에 제대로 이해해 봅시다. 아래와 같은 모집단이 있다고 합시다. 모집단 = {1} 원소가 1 하나뿐인 모집단입니.. 2022. 7. 28.

중심극한정리 유도하기 (요약버전) 중심극한정리 유도의 Full 버전은 아래 링크를 참고하세요. 9강~14강에 자세히 유도해 놓았습니다. https://hsm-edu.tistory.com/1193 [통계 기초 강의] 9. 중심극한정리란 무엇인가 이번 강의에서는 중심극한정리가 무엇인지 설명드리도록 하겠습니다. 수학적인 증명은 이후에 할거구요. 오늘은 개념만 설명드리는 것입니다. 모집단에서 크기가 n인 표본을 뽑았습니다. hsm-edu.tistory.com 이 글은 중심극한정리의 유도과정을 간단히 요약한 것입니다. 중심극한정리는 모집단의 분포와 상관없이 표본의 크기가 충분히 크다면 표본평균들의 분포가 정규분포를 따른다는 정리입니다. 여기서 주의할 점은 표본의 개수가 아니라 표본의 '크기'라는 것입니다. 표본의 개수는 무한하다고 가정합니다. 크.. 2021. 9. 15.

표본을 하나밖에 안 뽑았는데 어떻게 분포를 가정하나요?? "표본을 하나밖에 안 뽑았는데 어떻게 분포를 가정하나요??" 라는 질문을 정말 많이 받습니다. 오늘은 이 질문에 대해 최대한 쉽게 이해되도록 설명드려보겠습니다. 먼저 이 질문이 나온 맥락을 알아봅시다. 여기 모집단이 하나 있습니다. 모집단의 평균은 $\mu$, 표준편차는 $\sigma$ 라고 놓겠습니다. 모집단에서 크기가 n인 표본을 추출했습니다. 이 표본의 평균을 $\bar{X}_{1}$, 표준편차를 $\sigma_{1}$이라고 놓겠습니다. n이 충분히 크다고 가정하면, 중심극한정리에 의해 방금 우리가 뽑은 이 표본의 평균은 아래 분포를 따릅니다. $\bar{X} \sim N \left (\mu,\frac{\sigma^2}{n} \right)$ 이 상황에서 나온 질문입니다. 아래와 같은 의문이 드는 분.. 2021. 5. 21.

중심극한정리에서 표본의 개수가 중요하지 않은 이유 중심극한정리는 모집단에서 뽑은 표본의 크기 n이 충분히 큰 경우 표본평균들의 분포가 정규분포를 따른다는 정리입니다. 기호로 나타내면 아래와 같습니다. $\bar{X} \sim N\left ( \mu,\frac{\sigma^2}{n} \right )$ 표본의 크기와 표본의 개수가 구분이 안되시는 분들은 링크의 글을 읽고 오시면 됩니다. 중심극한정리를 접한 분들 중에 이런 의문이 드는 분들이 계실겁니다. 왜 표본의 개수가 아니라 표본의 크기가 커야되나요?? 표본의 개수가 많아야 분포가 되는거 아닌가요? 왜 이런 의문이 들었는지 중심극한정리를 적용하는 상황을 통해 알아봅시다. 평균이 50이고 분산은 9라고 알려져 있는 모집단이 있습니다. 이 모집단에서 크기가 100인 표본을 뽑을 예정입니다. 표본은 아직 안뽑.. 2020. 4. 1.

[손으로 푸는 통계] 14. 중심극한정리 증명 (#3. 표본평균의 적률생성함수) 중심극한정리 증명 (#3. 표본평균의 적률생성함수) 중심극한정리 증명의 마지막 시간입니다. 첫 시간에는 두 확률변수의 확률분포가 같을 조건을 배웠습니다. 두 확률변수의 적률생성함수가 같다면, 두 확률변수의 확률분포가 같았습니다. 두번째 시간에는 정규분포의 적률생성함수를 유도했습니다. 정규분포의 적률생성함수는 아래와 같습니다. $M_{X}(t)=E(e^{tx})=e^{ \mu t+\frac{+ \sigma^2 t^2 }{2} }$ 이번 시간에는 표본평균의 적률생성함수를 유도할 것입니다. 유도된 적률생성함수가 정규분포의 적률생성함수와 같다면, 표본평균의 분포와 정규분포가 같다고 할 수 있습니다. 표본평균의 분포가 정규분포를 따른다는 것을 보일 수 있는 것입니다. 목차 1. 표본평균의 적률생성함수 유도 2. .. 2018. 3. 24.

[손으로 푸는 통계] 13. 중심극한정리 증명 (#2. 정규분포의 적률생성함수) 중심극한정리 증명 (#2. 정규분포의 적률생성함수) 지난시간에 두 확률변수의 확률분포가 같을 조건을 배웠습니다. 두 확률변수의 적률생성함수가 같다면 두 확률변수의 확률분포가 같았습니다. 두 확률분포의 적률생성함수가 같음 → 두 확률변수의 확률분포가 같음. 이 원리를 이용하여 중심극한정리를 증명할 수 있습니다. 표본의 크기가 무한히 커질 때 표본평균의 적률생성함수를 구하고, 이를 정규분포의 적률생성함수와 비교합니다. 두 적률생성함수가 같다는 것을 보이면, 표본평균의 분포가 정규분포라는 것을 보일 수 있습니다. 이번글에서는 정규분포의 적률생성함수를 유도해보겠습니다. 다음 글에서 표본평균의 적률생성함수를 유도하고 둘을 비교할 것입니다. 정규분포의 적률생성함수 유도 정규분포를 따르는 확률변수 X가 있다고 합시다.. 2018. 3. 24.

[손으로 푸는 통계] 12. 중심극한정리 증명 (#1. 확률분포가 같을 조건) 중심극한정리 증명 (#1. 확률분포가 같을 조건) 지난시간까지 중심극한정리 유도에 사용되는 두가지 재료를 공부해봤습니다. 두 가지 재료는 아래와 같습니다. - 테일러 급수 - 적률생성함수 중심극한정리는 표본의 크기가 커짐에 따라 '표본 평균'들의 분포가 정규분포에 가까워져 간다는 정리입니다. 표본의 크기가 충분히 클 경우 표본평균의 분포를 정규분포로 가정하는데 사용되는 정리입니다. t검정을 비롯하여 모수적 통계방법들의 기반이 되는 정리입니다. 중심극한정리를 유도하는 절차는 아래와 같습니다. #1. 두 확률변수의 적률생성함수가 같다면, 두 확률변수의 분포가 동일함을 보임 #2. 정규분포를 따르는 확률변수의 적률생성함수를 유도함 #3. 표본평균의 적률생성함수를 유도함, 정규분포를 따르는 확률변수의 적률생서함.. 2018. 3. 24.

[손으로 푸는 통계] 10. 테일러 급수 유도하기 (중심극한정리 재료 #1) 중심극한정리를 증명하는 과정에서 테일러급수가 사용됩니다. 오늘은 테일러급수를 유도해보도록 하겠습니다. 테일러급수 설명 테일러급수는 브룩 테일러(Brook Taylor)가 1715년에 처음 소개했습니다. 테일러급수는 무한급수입니다. 어떤 함수를 다항함수로 만들어진 무한급수로 바꿔줍니다. 어떤 함수 $f(x)$에 테일러급수를 적용하면 아래와 같습니다. $f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^{2}+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^{3}+...$ 임의의 점 a에서의 미분값을 이용해서 함수 값을 계산할 수 있게 해줍니다. a근처에서의 함수값을 구할 경우 고차항(H.O.T)들의 크기가 아주 작아지기 때문에, 고차항들을 날려버리고 함수의 근사값.. 2018. 3. 24.

[손으로 푸는 통계] 9. 중심극한정리 설명 중심극한정리란 무엇인가 이번 강의에서는 중심극한정리가 무엇인지 설명드리도록 하겠습니다. 수학적인 증명은 이후에 할거구요. 오늘은 개념만 설명드리는 것입니다. 모집단에서 크기가 n인 표본을 뽑았습니다. 이런 표본을 무수히 많이 뽑으면 표본평균들의 평균은 모평균과 같아지고, 표본평균들의 분산은 모분산/n과 같아집니다. 여기까지는 앞에서 증명한 내용입니다. $E(\bar{X})=\mu$ $V(\bar{X})=\frac{\sigma^2}{n}$ 우리는 표본을 무수히 많이 뽑았기 때문에 표본평균들을 가지고 확률분포 그래프를 그릴 수가 있습니다. 이때 표본의 크기 n을 키우면, 표본평균들의 분포가 정규분포에 가까워져 갑니다. 표본 평균의 분포 → 표본의 크기 n 증가 → 정규분포 이러한 사실이 '중심극한 정리' 입.. 2018. 3. 24.

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