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특강(주제강의)133

[수리통계학] #42. 이변량 분포 변환 (transformation) 개념 이변량 확률변수의 변수변환이 무엇인지 먼저 간단히 알아봅시다. 두 확률변수의 $X_{1}$과 $X_{2}$의 결합확률분포 를 알고 있다고 합시다. 이때 다른 다른 확률변수 $Y_{1}$과 $Y_{2}$는 아래과 같이 정의된다고 합시다. $Y_{1}=f_{1}(X_{1},X_{2})$ $Y_{2}=f_{2}(X_{1},X_{2})$ 이때 $X_{1}$과 $X_{2}$의 결합확률분포를 이용하여 $Y_{1}$와 $Y_{2}$의 결합확률분포를 구하는 것이 확률변수 변환입니다. 어떻게 사용되나? 우리가 확률분포를 구하고 싶은 확률변수인 $Y_{1}$이 아래와 같이 정의된다고 합시다. $Y_{1}=g(X_{1},X_{2})$ 이변량 분포의 변환을 이용하면 Y의 확률분포함수를 구할 수 있습니다. 약간의 편법(?.. 2023. 2. 14.

[수리통계학] #41. 주변확률분포 주변확률분포는 결합확률분포로 부터 계산된 단일변량 확률분포입니다. 이산확률변수 두 확률변수 $X_{1}$ 과 $X_{2}$의 결합확률질량함수를 알고 있다고 합시다. $p_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})$ 이 결합확률질량함수로 부터 $X_{1}$의 확률분포함수를 얻으려면 어떻게 해야할까요. 아래와 같이 구하면 됩니다. $p_{X_{1}}(x_{1})=\sum_{-\infty 2023. 2. 13.

[수리통계학] #40. 이변량 확률분포 (결합확률분포) 우리는 24강에서 확률변수가 무엇인지 배웠습니다. 확률변수는 표본공간의 원소를 실수에 대응시키는 함수입니다. 26~27강에서는 확률분포함수를 배웠습니다. 확률분포는 확률변수를 확률에 대응시키는 함수입니다. 오늘은 이변량 확률분포를 배울 것인데요. 이변량 확률분포는 확률변수의 쌍을 확률에 대응시키는 함수입니다. 예를 들어봅시다. 주사위를 두개 던지는 시행에서 표본공간은 아래와 같습니다. $S={HH,HT,TH,TT}$ 두 확률변수 $X_{1}$과 $X_{2}$ 를 아래와 같이 정의합시다. $X_{1}$ : 앞면이 나온 횟수 $X_{2}$ : 뒷면이 나온 횟수 순서쌍 $(X_{1},X_{2})$ 의 집합을 D라고 한다면, D는 아래와 같습니다. $D=\left \{ (2,1),(1,1),(0,2) \righ.. 2023. 2. 13.

[통계 기호의 이해] 4. X 와 aX+b 의 발생 확률이 같은 이유 X의 확률밀도함수가 p(x) 인 경우에 X의 기댓값과 3X의 기댓값을 지난 시간에 구했었습니다. 결과는 아래와 같습니다. $E[X]=\sum_{i=1}^{n}x_{i}p(x_{i})$ $E[3X]=\sum_{i=1}^{n}3x_{i}p(x_{i})$ 여기서 이런 의문이 드는 분들이 계실겁니다. X가 3X로 바뀌었는데, 왜 p(x) 는 그대로인가. 오늘 그 의문을 해결해봅시다. 확률변수 X의 원소를 아래와 같이 놓겠습니다. $X=\left \{x_{1},x_{2},...,x_{n} \right \}$ $x_{1}$ 이 발생할 확률은 $p(x_{1})$ 입니다. $x_{2}$가 발생할 확률은 $p(x_{2})$ 입니다. 나머지 원소들에도 동일하게 성립합니다. 기댓값은 모든 사건과 각 사건이 발생할 확률의 합.. 2022. 10. 26.

[통계 기호의 이해] 3. E[X] 는 함수가 아닙니다 기댓값 기호 $E[X]$를 함수로 오해하시는 경우가 있습니다. 먼저 아래 질문에 답해보면서 오해하고 있는건 아닌지 확인해봅시다. Q) 확률변수 X의 확률 밀도함수를 $f(x)$ 라고 한다면, 확률변수 X의 기댓값은 아래와 같이 계산됩니다. $E[X]=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx$ 이때, 확률변수 3X의 기댓값을 아래와 같이 계산하는게 맞나요? $E[3X]=\int_{-\infty}^{\infty}3xf(3x)dx$ 정답은 '틀렸다' 입니다. 위와 같은 계산이 왜 틀렸는지 지금부터 알아봅시다. $E[X]$ 는 함수가 아니라 'X의 기댓값'을 기호로 나타낸 것입니다. X의 기댓값이라는 말을 매번 쓰기 귀찮으니 $E[X]$ 로 표현하기로 한 것입니다. X의 기댓값이 구해지는 과정을 .. 2022. 9. 30.

[통계 적률의 이해] 16. 특성함수가 항상 존재하는 이유 적률생성함수가 존재하지 않는 경우에는 특성함수를 사용할 수 있습니다. 특성함수는 모든 확률분포에 대해 존재하기 때문입니다. 오늘은 정말 그러한지를 증명해봅시다. 먼저 특성함수가 존재한다는 의미가 무엇인지 짚고 넘어가겠습니다. 특성함수가 존재한다는 것은 t에 대한 특성함수 값이 유한하다는 의미입니다. 확률변수 X의 확률밀도함수가 f(x) 일 때, 특성함수는 아래와 같이 정의됩니다. $\varphi_{X}(t)=E\left [ e^{itx} \right ]=\int_{-\infty}^{\infty}e^{itX}f(x)dx$ 양변에 절댓값을 씌워줍시다. $\left | \varphi_{X}(t) \right |=\left | \int_{-\infty}^{\infty}e^{itX}f(x)dx \right |$ .. 2022. 9. 23.

[통계 적률의 이해] 15. 특성함수 적률생성함수가 존재하지 않는 확률분포들이 있다는 것을 배웠습니다. 자주 사용되는 t분포도 적률생성함수가 없었습니다. 적률생성함수와 같은 역할을 하면서, 모든 확률분포에서 존재하는 함수가 발견되었습니다. 이 함수가 특성함수입니다. 특성함수는 적률생섬함수의 t 대신 it 를 넣은 함수입니다. 아래와 같이 정의됩니다. 그리스어 phi 를 기호로 사용합니다. $\varphi_{X}(t)=E\left [ e^{itX} \right ]=\int_{-\infty}^{\infty}e^{itx}f(x)dx$ 여기서 $\varphi $ 는 그리스어인데 fi 또는 fie 로 발음합니다. 적률생성함수는 아래와 같이 정의됐었습니다. $M_{X}(t)=E\left [ e^{tX} \right ]=\int_{-\infty}^{\i.. 2022. 9. 23.

[통계 기호의 이해] 2. P[X≤x] 형태의 부등식에 익숙해져야 하는 이유 우리는 지난시간에 아래 기호의 의미를 배웠습니다. $P[X=x]$ 이 기호는 확률변수 X가 어떤 값 x일 확률을 나타냅니다. 대문자 X는 확률 변수를 나타내구요. 소문자 x는 발생한 값을 나타냅니다. 그런데 이 표현은 모든 확률변수에 적용될 수 없습니다. 이 표현은 이산확률변수에만 적용 가능한 표현방법입니다. 연속확률변수는 x라는 값이 확률을 갖지 않습니다. 연속확률변수에서 각 값이 발생할 확률은 항상 0입니다. 연속확률변수는 확률 대신 확률 밀도 값을 갖습니다. 확률 밀도 값은 어떤 구간에 대해 적분했을 때 확률이 되는 값입니다. 표준 정규 분포를 예로 들겠습니다. 아래 그림을 봅시다. 표준정규분포 함수입니다. 표준정규분포의 함수값은 확률이 아닌 확률밀도입니다. 이 분포를 따르는 확률변수를 X라고 한다.. 2022. 9. 18.

[통계 적률의 이해] 14. 적률생성함수가 없는 분포도 있다 모든 확률분포에서 적률생성함수가 항상 존재하는 것은 아닙니다. 적률생성함수가 존재하지 않는 확률분포 도 있습니다. 오늘은 적률생성함수가 존재하지 않는 확률분포를 한가지 알아봅시다. 아래와 같은 확률분포인데요. Cauchy 분포의 일종입니다. $f(x)=\frac{1}{\pi}\frac{1}{x^2+1}$ Cauchy 분포의 일반형은 아래와 같습니다. $f(x;x_{0},\gamma)=\frac{1}{\pi \gamma \left [ 1+\left ( \frac{x-x_{0}}{\gamma} \right )^2 \right ]}$ 위에서 소개한 분포는 Cauchy 분포에서 $x_{0}$ 이 0이고, $\gamma$가 1인 경우입니다. 지금부터 아래 분포의 적률생성함수를 구해봅시다. $f(x)=\frac{1.. 2022. 9. 12.

[통계 적률의 이해] 13. 적률생성함수가 같으면 같은 분포일까 두 확률변수의 확률분포가 같으면, 적률생성함수는 확률분포를 적분하여 구하는 것이므로 적률생성함수도 당연히 같습니다. 반대로 두 확률변수의 적률생성함수가 같다고 합시다. 이때 두 확률변수의 확률분포는 같다고 할 수 있을까요? 대답은 yes 입니다. 어떻게 그럴 수 있는지 수학적으로 유도해 봅시다. 두 확률변수 X와 Y의 적률생성함수가 같다면 아래 등식이 성립합니다. $\int_{-\infty}^{\infty} e^{tx}f(x)dx=\int_{-\infty}^{\infty} e^{ty}f(y)dy$ 좌변과 우변의 변수를 z로 바꿔줍시다. 어차피 모든 구간에서 적분되는 것이므로 z로 바꿔도 결과가 같습니다. $\int_{-\infty}^{\infty} e^{tz}f_{X}(z)dz=\int_{-\infty}.. 2022. 9. 12.

[통계 기호의 이해] 1. P[X=x] 의 의미, 왜 대문자 소문자를 쓰나 통계와 관련된 책이나 자료들을 보면 P[X=x] 라는 기호를 많이 보게됩니다. 대문자 X와 소문자 x가 둘다 포함되어 있어서 헷갈려하시는 경우가 있어서 이 기호에 대해 설명하려고 합니다. X라는 확률변수가 있다고 합시다. 이 확률변수의 발생확률 아래와 같이 나타내 봅시다. $P[X]$ X가 3일 확률을 나타내봅시다. $P[3]$ 이렇게만 놓고 보면, 어떤 확률변수가 3일 확률인지를 알 수가 없습니다. 아래와 같이 표현하는 것이 더 알아보기 편합니다. $P[X=3]$ 위 식에서 X는 확률변수를 나타내구요. 3은 발생한 값을 나타냅니다. X의 확률함수를 $p(x)$라고 놓는다면 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. $P[X=3]=p(3)$ 좌변의 P는 확률이라는 뜻이구요. 우변의 p는 함수의 이름입니다. 헷갈리.. 2022. 9. 9.

반복측정 분산분석(Repeated Measure ANOVA) 예시 모음 분산분석은 셋 이상 집단의 평균을 비교할 때 사용하는 분석방법입니다. 종속변수와 독립변수의 개수에 따라 여러 방법으로 나뉩니다. 반복측정 분산분석(Repeated Measure ANOVA)는 집단들이 대응되어 있는 경우에 사용합니다. 같은 대상에 대해 여러가지 처리를 하고 처리 결과들을 비교하는 것입니다. 귀무가설은 아래와 같습니다. $H_{0}:\mu_{1}=\mu_{2}=\mu_{3}=...$ 예시 1) 세가지 라면 맛 비교 30명을 대상으로 세가지 라면을 먹이고 각 라면 맛의 점수를 0~100 으로 매기게 하였다. 라면 맛 점수 사이에는 차이가 있는가? 독립변수 : 라면 종류 종속변수 : 맛 점수 예시 2) 세가지 약의 효과 비교 피험자 30명을 모집하고 A약을 먹이고 한달 뒤 효과를 측정, 다시 .. 2022. 8. 25.

[통계 적률의 이해] 12. 정규분포의 첨도는 왜 3인가 우리는 10강에서 정규분포의 중심적률생성함수를 구했습니다. 아래와 같습니다. $M_{x-\mu}(t)=e^{\frac{\sigma^{2}t^{2}}{2}}$ 11강에서는 정규분포의 중심적률생성함수로 구한 2,3차 중심적률을 이용하여 정규분포의 왜도를 구했습니다. 지난시간에 구한 2,3차 중심적률과 왜도는 아래와 같습니다. $\mu_{2}=\sigma^{2}$ $\mu_{3}=0$ $\gamma_{1}=\frac{\mu_{3}}{\left ( \mu_{2} \right )^{\frac{3}{2}}}=0$ 오늘은 정규분포의 중심적률함수를 이용해서 정규분포의 첨도를 계산해보려고 합니다. 첨도를 중심적률로 나타내면 아래와 같습니다. $\kappa=\frac{\mu_{4}}{\mu_{2}^2}$ 4차 중심적률을 .. 2022. 8. 7.

[지수분포 한눈에] 정의, 분포함수,평균,분산,첨도,왜도,적률생성함수,특성함수 지수분포의 통계량들을 표로 요약한 내용입니다. 정의 - 단위시간당 평균 발생횟수가 $\lambda$일 때, 사건이 처음 발생할 때 까지 걸리는 시간이 T이하일 확률에 대한 분포 - 사건이 처음 발생할 때까지 걸리는 시간이 T 이하일 확률은 지수분포의 누적분포함수인 $F(T)$임 정의역 $0 \leq x < \infty$ 분포함수 $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ 누적분포함수 $F(x)=1-e^{-\lambda x}$ 평균 $\frac{1}{\lambda}$ 분산 $\frac{1}{\lambda^2}$ 왜도 2 첨도 9 적률생성함수 $\left ( 1-\frac{t}{\lambda} \right )^{-1}$ 특성함수 $\left ( 1-\frac{it}{\lambda} \right ).. 2022. 7. 21.

[F분포 한눈에] 정의, 분포함수,평균,분산,첨도,왜도,적률생성함수,특성함수 F분포의 통계량들을 표로 요약한 내용입니다. 정의 - 자유도가 $k_{1}$인 카이제곱분포를 따르는 확률변수를 $\chi_{k_1}$, 자유도가 $k_{2}$인 카이제곱분포를 따르는 확률변수를 $\chi_{k_2}$ 라고 합시다. 이때 F분포를 따르는 확률변수 F는 아래와 같이 정의됩니다. $F=\frac{ \frac{\chi_{k_1}}{k_1} }{ \frac{\chi_{k_2}}{k_2} } \sim F\left ( k_{1},k_{2} \right )$ 정의역 $0 \leq x < \infty$ 분포함수 $f(x;k_{1},k_{2})=\frac{\sqrt{\frac{\left ( k_1 x\right )^{k_1} k_2^{k_2}} { \left ( k_1 x+k_2 \right )^{k_1+.. 2022. 7. 20.

[수리통계학] #39. 특성함수가 항상 존재함을 증명 어떤 확률변수 X의 확률밀도함수가 f(x) 일 때, 특성함수는 아래와 같이 정의됩니다. $\varphi_{X}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{itX}f(x)dx$ 양변에 절댓값을 씌워줍시다. $\left | \varphi_{X}(t) \right |=\left | \int_{-\infty}^{\infty}e^{itX}f(x)dx \right |$ 아래 부등식이 성립합니다. 복소해석학 내용입니다. 증명은 글 맨 아래 첨부한 링크를 참고하세요. $\left | \varphi_{X}(t) \right |=\left | \int_{-\infty}^{\infty}e^{itX}f(x)dx \right |\leq \int_{-\infty}^{\infty}\left | e^{itX}f(x) \ri.. 2022. 7. 6.

[수리통계학] #38. 특성함수가 같으면 같은 분포일까? (유일성) 두 확률변수 X와 Y가 있다고 합시다. 두 확률변수의 누적분포함수는 $F_{X}(x)$ 와 $F_{Y}(y)$ 라고 놓겠습니다. 두 확률변수의 확률밀도함수는 $f_{X}(x)$ 와 $f_{Y}(y)$ 라고 놓겠습니다. 두 확률변수의 특성함수는 $\varphi_{X}(t)$ 와 $\varphi_{Y}(t)$ 라고 놓겠습니다. 이때 아래 성질이 성립합니다. 1. 두 함수의 누적분포함수가 같으면 특성함수도 같다. 2. 두 함수의 특성함수가 같으면 누적분포함수도 같다. 1번 성질은 쉽게 증명할 수 있습니다. 누적분포함수가 같으면 확률밀도함수가 같습니다. 특성함수는 아래와 같이 확률밀도함수에 의해서만 결정됩니다. $\varphi_{X}(t)=E[e^{itx}]=\int_{-\infty}^{\infty} e^{it.. 2022. 7. 6.

[수리통계학] #37. 특성함수 특성함수는 확률밀도함수에 퓨리에변환을 적용한 것입니다. 아래와 같이 정의됩니다. 그리스어 phi 를 기호로 사용합니다. 비교를 위해 적률생성함수도 나란히 써보겠습니다. $\varphi_{X}(t)=E\left [ e^{itX} \right ]=\int_{-\infty}^{\infty}e^{itx}f(x)dx$ $M_{X}(t)=E\left [ e^{tX} \right ]=\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}f(x)dx$ 특성함수는 적률생성함수에서 t자리에 it 가 대신 들어간 것입니다. 적률생성함수처럼 특성함수도 확률밀도함수마다 고유합니다. 두 확률변수의 특성함수가 같다면 확률밀도함수도 같습니다. 둘의 결정적인 차이는 다음과 같습니다. 특성함수는 적률생성함수와 달리 모든 확률분포에 대해 .. 2022. 7. 6.

[수리통계학] #36. 적률생성함수가 존재하지 않는 경우 모든 확률분포에서 적률생성함수가 존재하는 것은 아닙니다. 적률생성함수가 존재하지 않는 확률분포도 있습니다. 반면 다음 시간에 배울 특성함수는 모든 확률분포에서 존재합니다. 적률생성함수가 존재하지 않는 확률분포 예시는 아래와 같습니다. $f(x)=\frac{1}{\pi}\frac{1}{x^2+1}$ 확률변수 X는 연속확률변수이고 범위는 모든 실수입니다. 위 확률분포는 Cauchy 분포입니다. Cauchy 분포의 일반형은 아래와 같습니다. $f(x;x_{0},\gamma)=\frac{1}{\pi \gamma \left [ 1+\left ( \frac{x-x_{0}}{\gamma} \right )^2 \right ]}$ Cauchy 분포에서 $x_{0}$ 이 0이고, $\gamma$가 1인 경우입니다. $f(.. 2022. 7. 6.

[수리통계학] #35. 적률생성함수가 같은면 같은 분포일까 (유일성) 두 확률변수 X와 Y가 있다고 합시다. 두 확률변수의 누적분포함수는 $F_{X}(x)$ 와 $F_{Y}(y)$ 라고 놓겠습니다. 두 확률변수의 확률밀도함수는 $f_{X}(x)$ 와 $f_{Y}(y)$ 라고 놓겠습니다. 두 확률변수의 적률생성함수는 $M_{X}(t)$ 와 $M_{Y}(t)$ 라고 놓겠습니다. 이때 아래 성질이 성립합니다. 1. 두 함수의 누적분포함수가 같으면 적률생성함수도 같다. 2. 두 함수의 적률생성함수가 같으면 누적분포함수도 같다. 1번 성질은 쉽게 증명할 수 있습니다. 누적분포함수가 같으면 확률밀도함수가 같습니다. 적률생성함수는 아래와 같이 확률밀도함수에 의해서만 결정됩니다. $M_{X}(t)=E[e^{tx}]=\int_{-\infty}^{\infty} e^{tx}f(x)dx$ 따라.. 2022. 7. 6.

[수리통계학] #34. 적률생성함수란 무엇인가 적률생성함수는 적률을 생성하는 함수입니다. 적률은 아래와 같이 정의됩니다. $E[X^n]$ 적률은 확률변수의 거듭제곱의 기댓값입니다. 적률에는 차수가 있습니다. 위 적률은 n차 적률입니다. 적률생성함수는 미분을 이용하여 간편하게 적률을 구할수 있게 해주는 함수입니다. 확률변수 X의 적률생성함수는 아래와 같이 정의됩니다. $e^{tx}$의 기댓값입니다. $M_{X}(t)=E[e^{tx}]$ 확률변수가 이산확률변수라면 아래와 같이 계산됩니다. $M_{X}(t)=E[e^{tx}]=\sum e^{tx}p(x)$ 확률변수가 연속확률변수라면 아래와 같이 계산됩니다. $M_{X}(t)=E[e^{tx}]=\int_{-\infty}^{\infty} e^{tx}f(x)dx$ 변수는 X가 아니라 t입니다. X는 적분이되어 .. 2022. 7. 4.

[수리통계학] #33. 연속확률변수의 변수변환 (일대일 대응) 연속확률변수 $X$와 $Y$가 있습니다. 확률변수 $X$의 분포함수는 알고 있는 상황입니다. 또한 $Y=g(X)$ 라는 함수도 알고 있고 $X$와 $Y$는 일대일 대응이라고 가정합시다. 이때 $Y$의 분포함수를 구하는 방법입니다. 알고 있는 것 : $X$의 분포함수 $f_{X}(x)$, $Y=g(X)$ 조건 : $X$와 $Y$는 일대일 대응 구해야 하는 것 : $Y$의 분포함수 $f_{Y}(y)$ $X$와 $Y$가 일대일 대응이므로 $g(X)$ 는 증가함수이거나 감소함수입니다. 두 경우로 나눠서 $f_{Y}(y)$ 구하는 방법을 알아봅시다. 1. $g(X)$ 가 증가함수인 경우 연속확률변수이므로 특정 값에서의 확률을 정의할 수는 없습니다. 따라서 누적분포함수를 이용하여 접근하겠습니다. 아래 등식에서 출발.. 2022. 6. 30.

[수리통계학] #32. 이산확률변수의 변수변환 (일대일 대응) 이산확률변수 X와 Y가 있습니다. 확률변수 X의 분포함수는 알고 있는 상황입니다. 또한 $Y=g(X)$ 라는 함수도 알고 있고 X와 Y는 일대일 대응이라고 가정합시다. 이때 Y의 분포함수를 구하는 방법입니다. 알고 있는 것 : X의 분포함수, X와 Y의 관계함수 (Y=g(X)) 조건 : X와 Y는 일대일 대응 구해야 하는 것 : Y의 분포함수 아래 등식에서 출발합니다. $p_{Y}(y)=P[Y=y]$ 좌변의 $p_{y}(y)$는 확률변수 Y의 확률질량함수입니다. 우변은 확률변수 Y가 y일 확률입니다. $Y=g(X)$ 이므로 위 식을 아래와 같이 변형할 수 있습니다. $p_{Y}(y)=P[g(X)=y]$ $g(X)=y$ 는 $X=g^{-1}(y)$ 로 변형할수 있고, 둘의 발생확률은 당연히 같습니다. 따라.. 2022. 6. 30.

[신뢰도와 신뢰구간의 이해] 4. 신뢰도가 높으면 좋은걸까? 신뢰도는 높을 수록 좋은걸까요? 의문을 해결하기 위해 수능 문제를 하나 가져왔습니다. 문제에서 표본의 크기는 100이고, 표본평균이 245, 표본표준편차가 20 입니다. 95% 신뢰도로 신뢰구간을 계산하면 아래와 같습니다. 모표준편차를 모르기 때문에 표본표준편차를 대신 사용합시다. 여기서 발생하는 오차에 대해서는 나중에 다루기로 합시다. $\bar{X}_{1} -1.96\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{X}_{1} +1.96\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ $245 -1.96\cdot \frac{20}{\sqrt{100}} \leq \mu \leq 245 +1.96\cdot \frac{20}{\sqrt{100}}$ $241.1 \.. 2022. 6. 3.

[통계 적률의 이해] 11. 정규분포의 왜도 구하기 지난시간에 정규분포의 중심적률생성함수를 구했습니다. 아래와 같습니다. $M_{x-\mu}(t)=e^{\frac{\sigma^{2}t^{2}}{2}}$ 오늘은 정규분포의 중심적률함수를 이용해서 정규분포의 왜도를 계산해보려고 합니다. 왜도를 중심적률로 나타내면 아래와 같습니다. $\gamma_{1}=\frac{\mu_{3}}{\left ( \mu_{2} \right )^{\frac{3}{2}}}$ $\mu_{2}$ 는 2차 중심적률, $\mu_{3}$는 3차 중심적률입니다. 중심적률생성함수를 한번 미분합시다. $\frac{dM_{x-\mu}(t)}{dt}=e^{\frac{\sigma^{2}t^{2}}{2}}\sigma^{2}t$ 한번 더 미분합시다. $\frac{d^{2}M_{x-\mu}(t)}{dt^{2}.. 2022. 5. 25.

[통계 적률의 이해] 10. 정규분포의 중심적률생성함수 지난 시간에 우리는 정규분포의 적률생성함수를 이용하여 평균과 분산을 구했습니다. 우리가 구했던 정규분포의 적률생성함수는 아래와 같습니다. $M_{X}(t)=E(e^{tX})=e^{ \mu t+\frac{ \sigma^2 t^2 }{2} }$ 이제 왜도를 구할 차례인데요. 1,2,3차 적률을 이용하여 왜도를 구하는 방법은 아래와 같습니다. $\gamma _{1}=\frac{ \mu'_{3}-3 \mu'_{1} \mu'_{2}+2 \left \{ \mu'_{1} \right \}^{3} }{\left [ \mu'_{2}-\left \{ \mu'_{1} \right \}^{2} \right ]^{\frac{3}{2}}}$ 중심적률을 이용하면 훨씬 간단하게 구할 수 있었습니다. $\gamma _{1}=\frac.. 2022. 5. 24.

[t분포 한눈에] 정의, 분포함수,평균,분산,첨도,왜도,적률생성함수,특성함수 t분포의 통계량들을 표로 요약한 내용입니다. 정의 - 표본평균을 정의하는 모표준편차 대신 표본표준편차를 넣어 정의된 확률변수의 확률분포 - 정규분포보다 꼬리쪽이 heavy함 정의역 $-\infty 2021. 11. 10.

[카이제곱분포 한눈에] 정의, 분포함수,평균,분산,첨도,왜도,적률생성함수,특성함수 카이제곱분포의 통계량들을 표로 요약한 내용입니다. k는 자유도입니다. 정의표준정규분포를 따르는 확률변수들의 제곱합을 확률변수로 하는 분포정의역$\left\{\begin{matrix} 00 \leq x \end{matrix}\right.$분포함수$f(x;k)=\frac{1}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma \left ( \frac{k}{2} \right )}x^{\frac{k}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}$누적분포함수$F(x;k)=\frac{1}{\Gamma \left ( \frac{k}{2} \right )}\cdot \gamma \left ( \frac{k}{2},\frac{x}{2} \right )$평균$k$분산$2k$왜도$\sqrt{\frac{8}{k}}$첨도$\frac{1.. 2021. 11. 8.

[정규분포 한눈에] 정의, 분포함수,평균,분산,첨도,왜도,적률생성함수,특성함수 정규분포에 대한 통계량들을 표로 요약한 내용입니다. 정의 - 평균에 대해 대칭이고, 평균에 가까울 수록 발생 확률이 높아지는 분포 - 주어진 표준편차에서 미분엔트로피를 최대화하는 분포 분포함수 $\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )^{2}}$ 누적분포함수 $\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{t-\mu}{\sigma} \right )^{2}}dt=\frac{1}{2}\left [ 1+\mathrm{erf}\left ( \frac{x-\mu}{\sqrt{2}\sigma} \right ) \right ]$.. 2021. 11. 5.

[통계 적률의 이해] 9. 정규분포의 적률생성함수로 평균,분산 구해보기 지난시간에 유도한 정규분포의 적률생성함수는 아래와 같습니다. $M_{X}(t)=E(e^{tX})=e^{ \mu t+\frac{ \sigma^2 t^2 }{2} }$ 적률생성함수를 이용하여 평균, 표준편차, 왜도, 첨도를 구해봅시다. 1. 평균 적률생성함수를 한번 미분하고 t에 0을 넣으면 됩니다. 적률생성함수를 한번 미분합시다. $\frac{dM_{X}(t)}{dt}=E(Xe^{tX})=e^{ \mu t+\frac{ \sigma^2 t^2 }{2} } \times \left (\mu+\sigma^{2}t \right )$ t에 0을 넣겠습니다. $\left.\begin{matrix} \frac{dM_{X}(t)}{dt} \end{matrix}\right|_{t=0}=E(X)=\mu$ 2. 분산 분산은 아.. 2021. 11. 4.

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