[확률과 통계 기초] 3-41. 연속확률 분포 적분구간을 무한대로 해도 되는 이유

연속확률분포의 기댓값 수식을 살펴봅시다. 

연속확률분포의 기댓값 :  $\int_{a}^{b}xf(x)dx$

위 확률분포는 $[a,b]$에서 정의된 확률분포입니다. 그 외의 값은 0입니다. 그래프로 나타내보면 아래와 같습니다. 모양은 임의로 표현했습니다. 

$[a,b]$ 이외 구간에서 $f(x)$의 값은 0입니다. 따라서 $-\infty$부터 $\infty$까지 적분을 해도 나머지 구간의 적분값은 0이 나오므로 $[a,b]$에서 적분한 것과 결과가 같습니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. 

$$
 \int_{a}^{b}xf(x)dx= \int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx
$$

확률밀도함수를 적분하여 평균이나 분산을구할 때, 구간을 $[-\infty, \infty]$ 로 설정해주면 됩니다.

 

 

<강의 영상>

https://www.youtube.com/watch?v=Py-oAEMMZlU