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푸아송분포9

[통계 Q&A] 푸아송분포 문제 Q) 한시간 동안 평균 60마리 고양이 마주침. 1분동안 2마리의 고양이를 마주칠 확률? 1분동안 3마리 이하의 고양이를 마주칠 확률? A) 먼저 푸아송분포의 분포함수는 아래와 같습니다. $f(x)=\frac{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!}$ 람다($\lambda$)는 단위시간당 평균발생횟수 입니다. 한시간에 평균 60마리를 마주치므로, 1분에는 평균 1마리를 마주칩니다. 따라서 푸아송분포는 아래와 같습니다. $f(x)=\frac{e^{-1}}{x!}$ 이때 x는 1분동안 고양이를 마주치는 횟수입니다. 1분동안 2마리의 고양이를 마주칠 확률? x에 2를 넣으면 됩니다. 1분동안 3마리 이하의 고양이를 마주칠 확률? x 에 0,1,2,3 을 각각 넣고 더해주시면됩니다. 2021. 11. 1.

[푸아송분포 한눈에] 정의, 분포함수,평균,분산,첨도,왜도,적률생성함수,특성함수 푸아송분포에 대한 통계량들을 표로 요약한 내용입니다. 정의 이항분포에서 시행횟수가 무수히 많아지고, 발생확률은 아주 작은 경우입니다. 이항분포의 평균인 np가 $\lambda$ 입니다. 단위시간당 사건의 평균 발생횟수입니다. 분포함수 $ \frac{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!}$ 누적분포함수 $e^{-\lambda}\sum_{k=1}^{\left \lfloor x \right \rfloor}\frac{\lambda^{k}}{k!} $ 평균 $\lambda$ 분산 $\lambda$ 왜도 $\lambda^{-\frac{1}{2}}$ 첨도 $\frac{1}{\lambda}+3$ 적률생성함수 $e^{\lambda\left ( e^{t}-1 \right )}$ 특성함수 $e^{\lambda\.. 2021. 11. 1.

[손으로 푸는 확률분포] 푸아송분포 (6) 그래프 (6) 그래프 푸아송 분포의 그래프는 아래와 같습니다. 람다를 5부터 70까지 키워가며 그래프를 그렸습니다. 세로선은 평균입니다. 푸아송분포의 평균과 분산이 모두 λ입니다. λ가 커지면 평균이 커지는 것이므로 그래프가 우측으로 이동합니다. λ가 커지면 분산이 커지는 것이므로, 그래프가 좌우로 퍼집니다. 그래프는 R을 이용하여 그렸습니다. 아래는 사용 코드입니다. plot(0,type='n',ylim=c(0,0.2),xlim=c(0,100),ann=FALSE) title(main="Poisson distribution", xlab="x",ylab="p(x)") lambda=c(5,10,30,50,70) for (i in 1:5) { x=1:100 y=dpois(x, lambda[i], log = FALSE.. 2019. 12. 3.

[손으로 푸는 확률분포] 푸아송분포 (5) 분산 (5) 분산 푸아송 분포의 분산을 구해봅시다. 푸아송 분포함수는 아래와 같습니다. 푸아송분포의 분산은 아래와 같이 구합니다. x가 1부터 시작해도 결과가 같습니다. x를 약분합니다. 아래와 같이 변형합니다. 람다를 꺼냈습니다. x-1을 n으로 치환합니다. 전개합니다. 빨간 부분은 푸아송분포의 평균입니다. 파랑부분은 푸아송분포함수값의 총 합이므로 1입니다. 계산하면 아래와 같습니다. 2019. 12. 1.

[손으로 푸는 확률분포] 푸아송분포 (4) 평균 (4-1) 통계량 - 평균 푸아송분포는 λ 라고 가정하고 유도한 분포이므로, 평균은 당연히 λ 겠지만 확률분포의 평균을 구하는 수식으로도 구해보겠습니다. 푸아송분포 평균을 구할 때 테일러급수가 사용되므로, 먼저 테일러급수를 알아봅시다. f(x)의 테일러급수는 아래와 같습니다. a가 0일 때는 매클로린 급수라고 합니다. 이번에는 e^x의 매클로린 급수를 구해봅시다. x 자리에 λ를 대입합시다. 위 식을 증명에 사용할 것입니다. 1번식이라고 하겠습니다. 이제 푸아송 분포의 평균을 구해봅시다. 푸아송 분포함수는 아래와 같습니다. 푸아송분포의 평균은 아래와 같이 구합니다. x에 0을 넣으면 전체 항이 0이 되므로, x를 1부터 시작해도 됩니다. 아래와 같이 변형합니다. x-1을 n으로 치환하겠습니다. 빨간 식을.. 2019. 11. 29.

[손으로 푸는 확률분포] 푸아송분포 (2-3) 두 증명 결과가 같은 이유 (2-3) 두 증명 결과가 같은 이유 두가지 방법으로 푸아송분포를 유도했습니다. 이항분포를 이용하여 유도한 결과는 아래와 같습니다. 미분방정식을 세워서 유도한 결과는 아래와 같습니다. λ 와 ks를 비교할겁니다. 의미가 같다는 것을 보이겠습니다. λ는 이항분포 B(n,p)의 평균입니다. 어떤 시간 동안의 시행횟수를 n, 사건 발생확률을 p라고 놓았을 때의 평균입니다. 이번에는 ks를 봅시다. s는 어떤 단위 시간을 의미합니다. 길냥이 예제에서는 '하루'라는 시간입니다. 시간 s 안에 Δt 라는 '사건이 최대 1번 일어나는 짧은 시간'을 잡은 것입니다. Δt 동안 사건이 1번 발생할 확률을 아래와 같이 정의했었습니다. 위 식을 k에 대해 정리하면 아래와 같습니다. 양변에 s를 곱합시다. 전체시간 s를 사건.. 2019. 11. 15.

[손으로 푸는 확률분포] 푸아송분포 (2-2) 미분방정식으로 유도 ② 유도 (2-2) 미분방정식으로 유도 ② 유도 지난시간에 세개의 식을 유도했습니다. 본격적으로 푸아송분포를 유도합시다. 길냥이 예제를 이어서 사용하겠습니다. 아래와 같은 확률을 정의해봅시다. 이 확률은 t+Δt 라는 시간동안 길냥이를 x번 만날 확률입니다. 이 확률은 아래와 같이 다른 두 확률의 곱으로 표현할 수 있습니다. t+Δt 라는 시간동안 길냥이를 x번 만날 확률은 t라는 시간동안 x번 만나고 이후 Δt라는 시간동안 0번 만날 확률과 t라는 시간동안 x-1번 만나고 이후 Δt라는 시간동안 1번 만날 확률의 합과 같습니다. 1,2번식(맨 위 빨간식)을 대입하여 정리합시다. 전개하겠습니다. 이항하여 아래와 같이 정리합시다. Δt로 양변을 나눠줍시다. Δt를 0으로 보내면 아래와 같은 미분방정식이 됩니다. 이.. 2019. 11. 7.

[손으로 푸는 확률분포] 푸아송분포 (2-1) 이항분포로 부터 유도 (2-1) 이항분포로 부터 유도 이항분포 함수는 아래와 같습니다. 푸아송분포는 n과 p를 각각 다루지 않고, 이항분포의 평균인 np를 다룹니다. 이 값을 λ(람다)라고 놓습니다. 아래와 같이 변형합시다. 이항분포 수식의 p 자리에 위 식을 넣겠습니다. 조합 식을 팩토리얼로 전개합시다. 위 식의 빨간항을 아래와 같이 나눠서 써줍시다. 팩토리얼 식을 아래와 같이 풀어 써줍니다. 파란 부분끼리 약분해줍니다. x팩토리얼과, n의 x승의 자리를 바꿔줍니다. 위 식의 파란 부분을 아래와 같이 변형합시다 . 이번에는 아래 식을 봅시다. 몇개의 인수가 곱해져있는 걸가요? n!를 (n-x)!로 나눈 것인데, n!의 인수는 n개 입니다. (n-x)!의 인수는 (n-x)개입니다. n개 에서 (n-x)개를 약분하면, x개가 .. 2019. 10. 28.

[손으로 푸는 확률분포] 푸아송분포 (1) 소개 (1) 소개 푸아송 분포에 붙은 '푸아송'은 사람의 이름입니다. 시메옹 푸아송의 이름을 따서 만들었습니다. 시메옹 푸아송이 발견했기 때문입니다. 시메옹 푸아송은 1791년 프랑스에서 태어났습니다. 그의 직업은 공학자, 수학자, 물리학자였습니다. 기계나 재료를 전공한 분들이라면 반드시 들어보았을 푸아송비(poisson's ratio)도 이분이 만들었습니다. 에펠탑에 이름이 새겨진 72명의 과학자중 한명이라고 합니다. 푸아송분포는 이항분포의 특수한 경우로 생각할 수 있습니다. 이항분포에서 시행횟수가 무수히 많아지고, 발생확률은 아주 작은 경우입니다. 한가지 의문이 듭니다. 그럼 그냥 이항분포로 계산하면 되지, 왜 굳이 푸아송분포가 필요한거야? 이 의문을 해결해봅시다. 거리를 돌아다니다가 길냥이를 본적이 있을.. 2019. 9. 14.

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